二乗数の美しさ

数の美しさ

■足し算を分割で学ぶ

シュタイナー学校では、シュタイナー自身の助言に従い、足し算を「分割」という方法で教えます。 つまり

5+7=12

ではなく、

12=5+7

という方向です。
このようにしますと、次のような利点があります。

• 生きているものは、基本的に「全体から部分へ」である。
• 認識論的にこちらの方が正しい。ちなみに、カント哲学では5+7の方向で考える。
• 実際にやってみると、教室に生き生きした雰囲気が生まれる。
• 一つの答に満足せず、多くの可能な答を求める姿勢が培われる。

■数の美しい《分割》

さて、数の分割というテーマでも「目に見えない美しさ」に対する姿勢を培うことができます。
マンハイム、シュタイナー教育教員養成ゼミナール元代表のエルンスト・シューベルト先生が紹介してれた方法です。
「10を美しく分けてみよう」と問うのです。
5+5、3+4+3、などの可能性があるでしょう。 その中でも

10=1+2+3+4

は美しいものの一つでしょう。

■9の分割

9も美しく分けることができます。

9=3+3+3

も美しいでしょう。さらには、

9=1+2+3+2+1

これも美しい分割です。 一つの視点として、分割に秩序があると人間は美しさを感じるようです。
この分割は、階段状に上って、降りる形です。

1+2+3+2+1

この階段を一つ増やし、4までにしたら、下のようになります。

1+2+3+4+3+2+1=16

さらに階段を高くし 5 までの増減にしますと、

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

これはすぐにわかるように、9=3×3とか16=4×4、25=5×5とも表現できますので、２乗数と呼びます。

２乗数の世界

この２乗数は振る舞いがエレガントで、貴族の数と呼び人もいます。
9=3×3といった２乗数を点で表しますと、正方形に並べることができます。

さて、9は下のようにも表現できますし、さらには16も同様です。

9 = 1+2+3+2+1
16=1+2+3+4+3+2+1

どうしたら、これを正方形の図形に結びつけることができるでしょうか？
（空行を入れておきます）

 

 

 

 

答えを知ればその理解は簡単

答えは簡単で、正方形を45°傾ければよいのです。

こうしますと、正方形としても対角線を軸とした対称性が強調されます。それが、数の分割による対称性ともつながります。

この関係は、私が1993~4年ごろ、ウリーン著『シュタイナー学校の数学読本』を翻訳しているときに発見し、機会ある毎に「数学の美しさ」や「目に見えない美しさ」の例として紹介してきました。それが現在では、いくつかのシュタイナー学校では定番の教材になっているようです。
 

奇数の和

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19・・・という奇数を次々に足していくとどうなるでしょうか？

1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
1+3+5+7+9+11=36
1+3+5+7+9+11+13=49
1+3+5+7+9+11+13+15=64
1+3+5+7+9+11+13+15+17=81

この和も二乗数になります。このことは図形で次のように表されます。

（前述のウリーン著『シュタイナー学校の数学読本』）

この関係は、高校で学ぶ数列に関係する、「数学的帰納法」の定番問題です。


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