二乗数の中の二乗数＝25

■13と正方形

13個のオハジキを正方形に並べる

という問題は、私のお気に入りの一つです。通常では、13という素数と正方形という規則正しい形が結びつきにくいからです。
けれども、試行錯誤するうちに答えが見つかることもありますし、ちょっと論理的に考えて答えを見出す人もいます。設問の図では、

すでに9個で3×3の正方形ができているから、それに残りの4つを加えて正方形になるとしたら、四方向に均等に拡張するはずだ

と考える人もいるでしょうし。あるいは、

13を4で割ると1余る。なので、これで正方形ができるとしたら、中心に１つあるはずだ

と考えた人もいらっしゃいました。

下の解は、設問の状態に４つを加えただけです。

■法則を見つける

また、部分的に色を変えると、構造が見やすくなります。

黄色のオハジキが4つ、青いオハジキが9つ、重なりあっています。つまり、2²＋3² ＝13 になっています。
この構造を小さい順に並べますと、

0²＋1²

1²＋2²

2²＋3²

3²＋4²

4²＋5²

5²＋6²

となっていきます。
解答の外側に12個加え、3²＋4²にすると、このようになります。

さて、3²＋4²=25＝5² ですので、正方形で表現できます。この状態から、5²の状態にしてみましょう。

最小限ですと、オハジキを4つ動かせば可能です。

このように、25という数字は、二通りの仕方で正方形に並べることができます。
私はこれで、中学校で学んだピタゴラスの定理の数式、3²＋4²＝5²  が少し違って見えてきました。

■発展

さてこの、n²＋(n+1)² という構造の数字で、25以外にそれが二乗数になることはあるでしょうか？
高校生くらいの知識があれば、関係を式に表して、それを見つけることもできます。

20²＋21²=841=29²

これ以上になるとコンピューターの力を借ります。

119²＋120²＝169²

696²＋697²＝985²

となります。これ以上の数字でもいくつか見つかりそうです。
プログラムを書けば、Excelでも探すことができますし、数学の好きな子へのちょっとした課題かもしれません。

■参考

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